APA BEDANYA SISTEM LINIER DENGAN SISTEM NON-LINIER

TRI HARDIYANTO J.

13.543.0128

APA BEDANYA SISTEM LINIER DENGAN SISTEM NON-LINIER ?

Sistem linear merupakan suatu sistem yang sifatnya memiliki suatu “ketetapan” atau bisa dibilang sebagai sistem yang fixed. Sistem yang seperti itu dapat digambarkan sebagai bagan berikut ini.

Dalam bagan tersebut dapat diamati bahwa setiap input dalam sebuah proses tersebut memiliki output masing-masing sesuai dengan macam input yang ada dalam suatu proses. Sistem ini memiliki sifat yang fixed. Sistem ini tidak memiliki tingkat ke-sensitivitas-an yang rendah. Kita dapat memodelkan sistem linear seperti ini hanya dengan pemrograman konvensional biasa.

Sistem non-linear merupakan suatu sistem yang sifatnya tidak tetap, mudah berubah, sulit dikontrol, dan sulit diprediksi. Sistem semacam ini memiliki tingkat ke-sensitivitas-an yang sangat tinggi. Sistem non-linear ini dapat digambarkan seperti kedua bagan berikut ini.

Dalam kedua bagan tersebut dapat diamati 2 hal, yaitu yang pertama, bahwa input-input yang berlainan dalam suatu proses dapat menghasilkan output yang sama, dan yang kedua, bahwa satu input yang ada dalam suatu proses dapat memberikan output yang sama. Di sinilah letak ke-sensitif-an sistem. Sistem non-linear seperti ini dapat dimodelkan dengan non-linear programming, seperti jaringan saraf tiruan atau kecerdasan buatan.

Sistem linier adalahsistem yang memenuhihukumsuperposisi.Prinsipsuperposisiadalahresponssistem (keluaran) terhadapjumlahbobotsinyalakansamadenganjumlahbobot yang sesuaidarirespon (keluaran) sistemterhadapmasing-masingsinyalmasukan individual. Karenaitulinieritasdapatdidefinisikansebagaiberikut.

           

Teorema  :Sistemadalah linier jikadanhanyajika

                        G[a₁x₁(t) + a₂x₂(t)] = a₁ G[x₁(t)] + a₂G[x₂(t)]                 

untuk setiap deret masukan x₁(t) dan x₂(t) yang berubah-ubah dan setiap konstanta a₁ dan a₂ yang berubah-ubah.

Jenis Persamaan

Persamaan masing-masing mendapat bentuk yang didasarkan pada tingkat tertinggi, atau eksponen, variabel. Misalnya, dalam kasus di mana y = x ³ – 6x + 2, tingkat 3 persamaan ini memberikan nama ” . Kubik” Setiap persamaan yang memiliki gelar tidak lebih tinggi dari 1 menerima nama ” linear.” Jika tidak, kita sebut persamaan ” nonlinier,” apakah itu kuadrat, sinus-kurva atau dalam bentuk lainnya.

Hubungan Input-Output

Secara umum, ” x” dianggap menjadi masukan dari sebuah persamaan dan ” y” dianggap output. Dalam kasus persamaan linier, setiap peningkatan dalam ” x” baik akan menyebabkan peningkatan ” y” atau penurunan ” y” sesuai dengan nilai lereng. Sebaliknya, dalam persamaan nonlinier, ” x” mungkin tidak selalu menyebabkan ” y” untuk meningkatkan. Sebagai contoh, jika y = (5 – x) ², ” y” penurunan nilai sebagai ” x” pendekatan 5, tetapi meningkat sebaliknya.

Grafik Perbedaan

Sebuah grafik menampilkan set solusi untuk persamaan yang diberikan. Dalam kasus persamaan linear, grafik akan selalu garis. Sebaliknya, persamaan nonlinear mungkin terlihat seperti sebuah parabola jika derajat 2, x bentuk-melengkung jika derajat 3, atau variasi daripadanya melengkung. Sementara persamaan linear selalu lurus, persamaan nonlinier sering menampilkan kurva.

Pengecualian

Kecuali untuk kasus garis vertikal (x = konstanta) dan garis horizontal (y = konstan), persamaan linear akan ada untuk semua nilai ” x” dan ” y.” Persamaan nonlinier, di sisi lain, mungkin tidak memiliki solusi untuk nilai-nilai tertentu dari ” x” atau ” y.” Misalnya, jika y = sqrt (x), maka ” x” ada hanya dari 0 dan seterusnya, seperti halnya ” y,” karena akar kuadrat dari angka negatif tidak ada dalam sistem bilangan real dan tidak ada akar kuadrat yang menghasilkan output negatif.

Manfaat

Hubungan linier dapat dijelaskan dengan baik oleh persamaan linear, di mana peningkatan satu variabel secara langsung menyebabkan kenaikan atau penurunan yang lain. Misalnya, jumlah cookie Anda makan dalam sehari bisa memiliki dampak langsung pada berat badan seperti yang digambarkan oleh persamaan linier. Namun, jika Anda sedang menganalisis pembagian sel mitosis bawah, persamaan, nonlinier eksponensial akan sesuai dengan data yang lebih baik.

Sistem Linear adalah mata kuliah lanjutan dari Matematika Teknik.

Sistem linier memberikan dasar-dasar pengolahan sinyal baik secara digital maupun secara analog. Untuk itu diperlukan pengetahuan dasar tentang sistem dan sinyal (baik diskrit maupun kontinyu). Selain itu juga diberikan hal-hal dasar yang terkait dengan pengolahan sinyal seperti konvolusi dan transformasi sinyal (fourier, laplace, z) serta aplikasinya dalam dunia elektro.Bahan-bahan dan materi dapat di download dibawah ini sesuai dengan pertemuan atau Session kuliah.

Telaahtentang system linier telahmerupakanbagianpentingdarilatihan formal tahapsarjanamudaselamabertahun-tahun.Analisisistem linier sangatlahbermanfaatkarena, walaupuntakada system fisika yang pernah linier secarasempurna, namunsuatu model linier seringkalimemadaiuntukmenjangkaunilai-nilaimasukan-keluarantertentu. Telahtersediasejumlahteorimatematika yang dapatdigunakanparainsinyurdanilmuwanuntukmenganalisis system linier.Sebaliknya, analisis system tak linier merupakan ad hoc ( kasus per kasus). Setiap system tak linier harusdipelajaritersendiri, karenaterdapatsedikitsekalimetodeumumuntukmenganalisnya.

Analisis system linier sering dilakukan dengn menggunakan sekelompok sinyal masukan tertentu. Jadi adalah wajar untuk menyertakan telaah sinyal dan berbagai penyajiannya dalam mempelajari system linier. Kita telah menjumpai bahwa sinyal-sinyal sinusoidal dan impuls teristimewa bermanfaat sebagai masukan-masukan system.

Selaku insinyur, kita tertarik dalam sintesis, dan juga analisis system. Kenyataannya, sintesis atau desain system merupakan bagian kreatif dalam perekayasaan. Lagipu;a, seperti halnya dalam kebanyakan usaha kreatif, orang harus pertama kali mempelajari mengenai bagaimana menganalisis system sebelum dapat melanjutkan dengan merancang atau mendesain sistem. Usaha yang dilakukan dalam buku ini terutama diarahkan pada analisis suatu kelas system linier tertentu. Namun, karena desain dan analisis sangat erat kaitannya, maka bahan ini juga menyediakan dasar-dasar desain sederhana. Kita dapat membagi anaisis system dalam tiga aspek :

1.      Pengembangan model matematis yang cocokbagipersoalanfisika yang dihadapi. Bagiananalisisiniberurusandengan“ persamaangerak”, syaratbatasatausyaratawal, nilai parameter dan lain-lain. Inimerupakan proses gabunganantarapenilaianpengalaman, daneksperimenuntukmengembangkan model yang cocok. Langkahpertamainiadalah yang tersulitdilaluisecara formal.

2. Setelah model yang cocok diperoleh, maka persamaan resultannya dipecahkan untuk memperoleh berbagai pemecahan dalam berbagai bentuk.
3. Kemudian pemecahan model matematiknya dihubungkan atau ditafsirkan dalam persoalan fisikanya. Tentu saja tafsiran dan perkiraan yang berarti terhadap system fisika hanya dapat dilakukan jika pengembangan pada 1 telah cukup tepat.

1.1.  KLASIFIKASI SISTEM LINIER

Ada beberapaklasifikasiataujenis system Linier yaitu :

a.      Suatu system sebab-akibat atau kausal (causal) atau tak mendahului  menghasilkan keluaran yang pada setiap waktu t_o , hanya merupakan fungsi dari nilai masukan yang ada sampai dengan dan termasuk t_o . Dengan perkataan lain, system tidak memberi tanggapan terhadap nilai masukan sampai masukan tersebut betul-betul dikenakan pada system. Dengan pernyataan seperti ini, jelas bahwa semua system fisika yang nyata termasuk system kausal. Namun, akan kita perlihatkan bahwa system tak kausal dapat diterapkan dalam berbagai penerapan.

b.      Keadaan state system merupakan konsep yang mendasar. Keadaan adalah himpunan terkecil variable yang dipilih sedemikian rupa sehingga apabila nilainya diketahui pada t_o  dan semua masukan diketahui untuk waktu yang lebih besar dari t_o , maka keluaran system dapat dihitung untuk waktu yang lebih besar dari t_o .

Secara umum, masukan, keadaan, dan keluaran, adalah himpunan variable yang akan kita nyatakan sebagi besaran vector.

pengantar sinyal dan sistem

Tri Hardiyanto j.

13.543.0128

PENGANTAR SINYAL

Sinyal x(t):

memiliki nilai real atau nilai skalar yang merupakan fungsi dari variabel waktu t

Contoh yang sudah umum:

gelombang tegangan dan arus yang terdapat pada suatu rangkaian listrik

sinyal audio seperti sinyal wicara atau musik

sinyal bioelectric seperti electrocardiogram (ECG) atau electroencephalogram (EEG)

gaya-gaya pada torsi dalam suatu sistem mekanik

laju aliran pada fluida atau gas dalam suatu proses kimia

masyarakat tidak lepas dari telekomunikasi terutama handphone, yang mana piranti ini sarat dengan pengolahan sinyal. Tanpa disadari di alam, sinyal juga dapat ditemukan di sekitar manusia dalam bentuk sinyal elektromagnetik tubuh makhluk hidup.

Agar sinyal dapat bermanfaat sesuai kebutuhan manusia dengan efisien dan optimal, maka diperlukan pengolahan sinyal dengan menggunakan suatu sistem elektronika analog maupun yang digital.

Diambil dari berbagai sumber, pengertian sinyal sangat bermacam, antara lain :

Fungsi satu variabel atau lebih yang menunjukkan informasi dalam fisik fenomena alam.

System berupa arus data yang mengalir melalui jalur transmisi

Suatu indikator yang digunakan sebagai alat komunikasi

Suatu impuls atau fluktuasi besaran listrik seperti tegangan, arus, kuat medan listrik, yang mengkodekan informasi.

Suatu impuls elektronik atau gelombang radio yang dikirim atau diterima

SINYAL WAKTU KONTINYU

sinyal waktu-kontinyu atau sinyal analog: ketika memiliki nilai real pada keseluruhan rentang waktu t yang ditempatinya didefinisikan dengan persamaan matematis

Contoh Sinyal Waktu Kontiyu:

Fungsi Step

Fungsi Ramp

Impulse

Sinyal Periodik

• Fungsi Step

• Fungsi Ramp

Fungsi ramp (tanjak) r(t) didefinisikan secara matematik

• Impulse

Unit impulse d(t) juga dikenal sebagai fungsi delta atau distribusi Dirac didefinisikan sebagai:

• Sinyal Periodik

Ditetapkan T sebagai suatu nilai real positif. Suatu sinyal waktu kontinyu x(t)

Dikatakan periodik terhadap waktu dengan periode T jika x(t + T) = x(t) untuk semua nilai t, - 8 < t < 8 Suatu contoh pada suatu sinyal periodik adalah suatu sinyal sinusoida

x(t) = A cos(?t + ?)

Dimana: A = amplitudo ? = frekuensi dalam radian per detik (rad/detik) ?= fase dalam radian. Frekuensi f dalam hertz (Hz) atau siklus per detik adalah sebesar f = ?/2p. 

 

- Contoh pembangkitan sinyal kontinyu dengan Matlab Coba anda bangkitkan sebuah sinyal periodic sinusoida y = sin(2pft + ?),dengan frekuensinya senilai 5Hz, sedangkan fase awalnya 45o. t1=0:1:200; %waktu dari 0 sampai 200 f=5; % frekuensi 5Hz T=100; % normalisasi T=100 t=t1/T; % proses normalisasi waktu y=sin(2*pi*f*t - pi/4); %pembangkitan sinus dengan fase awal 45o plot(t,y) %penggambaran hasil pembangkitan.

 SINYAL WAKTU DISKRIT

Pada kasus sinyal diskrit x[t], t disebut sebagai variabel waktu diskrit (discrete time variable) jika t hanya menempati nilai-nilai diskrit t = tn untuk beberapa rentang nilai integer pada n.

Sebagai contoh t dapat menempati suatu nilai integer 0,1,2,3,…; dalam hal ini t = tn= n untuk suatu nilai n = 0,1,2,3,…

Berikut ini digambarkan sebuah sinyal diskrit yang memiliki nilai x[0] = 1, x[1] = 2, x[2] = 1, x[3] = 0, dan x[4] = -1. Sementara nilai untuk x[n] yang lain adalah nol

Hasilnya

Contoh-contoh Sinyal Waktu Diskrit:

Sekuen Konstan

Sekuen Impulse

Unit Step

Sekuen Rectangular (persegi)

• Sekuen Konstan Sinyal ini dihasilkan dari sampling sinyal waktu kontinyu yang nilainya konstan, misalnya sinyal DC. Bentuk sinyal waktu diskrit untuk representasinya berupa deretan pulsa-pulsa bernilai sama mulai dari negatif tak berhingga sampai dengan positif tak berhingga. Gambaran matematis untuk sinyal ini adalah seperti berikut.

f(nT) = 1 untuk semua nilai n

• Sekuen Impulse Sekuen impuls bukan merupakan bentuk sampel dari suatu sinyal waktu diskrit. Sekuen impulse pada saat bernilai 1 untuk titik ke-10 dan yang lainnya bernilai nol dapat didefinisikan sebagai

• Unit Step Sebuah sekuen unit step untuk satu kasus dimana nilainya =1 untuk nilai n >= 10 dan bernilai 0 untuk k sebelumnya dapat didefinisikan sebagai:

• Sekuen Rectangular (persegi) Kita tetapkan suatu variabel L dengan nilai positif integer. Sebuah fungsi pulsa rectangular waktu diskrit pL[n] dengan panjang L dapat didefinisikan sebagai

SINYAL SINOSUDA

Semua sinyal yang ada di dalam proses pengolahan sinyal dapat didekati dengan model dasar sinyal sinus

Lebih mudah dipahami karena bentuknya sederhana

Memiliki frekuensi tunggal

Sinyal periodik yang banyak dikenal orang adalah sinyal sinusoidal, seperti untuk kasus sinyal analog

PROSES SAMPLING

Teorema sampling memiliki peranan penting sebagai jembatan yang menghubungkan sinyal waktu kontinu dengan sinyal waktu diskrit. Sinyal waktu kontinu dapat dibentuk kembali dari sampel-sampelnya, sehingga memungkinkan untuk merepresentasikan sinyal waktu kontinu tersebut oleh sinyal waktu diskrit. Pengolahan sinyal waktu diskrit lebih fleksibel dan lebih baik dibandingkan pengolahan sinyal waktu kontinu. Dengan perkembangan teknologi digital, sistem waktu diskrit dapat dibuat dengan lebih murah, akurat, dan dapat diprogram, sehingga memberikan banyak keuntungan. Konsep sampling merupakan konsep yang menarik dan menjadi metoda untuk menggunakan sistem waktu diskrit untuk mengolah sinyal waktu kontinu.

Proses pengambilan sampel ini disebut sebagai sampling dan dilakukan secara periodik setiap T detik yang kemudian dikenal sebagai periode sampling. Proses pengambilan sampel bisa dilakukan dalam waktu ts (time sampling) yang jauh lebih kecil dibanding T. Dengan demikian output yang dihasilkan berupa pulsa-pulsa sinyal tersampel. Proses ini mengubah representasi sinyal yang tadinya berupa sinyal kontinyu menjadi sinyal diskrit. Dapat juga diibaratkan sebagai sebuah saklar on/off yang membuka dan menutup setiap periode tertentu(T).

OPERASI DASAR SINYAL

Pada analisa system pemrosesan sinyal diskrit, deretnya dapat dimanipulasi dalam beberapa cara. Perkalian (product) dan penambahan (sum) dari dua deret x dan y dinyatakan sebagai sample perkalian dan pembagian dimana

x.y={x(n)y(n)} (product) (1)

x+y={x(n)+y(n)} (sum) (2)

Perkalian dari deret x dengan sebuah nilai a dinyatakan sebagai

a.x = x(n – n0) (3)

dimana n0 adalah bilangan integer.

Berlaku untuk sinyal waktu kontinyu dan sinyal waktu diskrit

Atenuasi (Pelemahan)

Amplifikasi (Penguatan)

Delay (Pergeseran)

Penjumlahan

Perkalian

Attentuation(pelemahan Sinyal)

Attenuation mengacu pada pelemahan sinyal selama ia berjalan melalui kabel. Ia kadang disebut sebagai roll off. Selama sinyal mengalir melalui kawat, gelombang kotaknya berubah bentuk sejauh ia mengalir. Jadi, attenuasi sebenarnya adalah fungsi dari panjang kabel. Jika sinyal mengalir terlalu jauh,ia bisa menurun kualitasnya sehingga stasiun penerimanya tidak mampu lagi menginterpretasikannya dan komunikasi akan gagal.

Dalam arti lain atenuasi adalah melemahnya sinyal yang diakibatkan oleh adanya jarak yang semakin jauh yang harus ditempuh oleh suatu sinyal dan juga oleh karena makin tingginya frekuensi sinyal tersebut

Apabila sebuah sinyal dilewatkan suatu medium seringkali mengalami berbagai perlakuan dari medium (kanal) yang dilaluinya. Ada satu mekanisme dimana sinyal yang melewati suatu medium mengalami pelemahan energi yang selanjutnya dikenal sebagai atenuasi (pelemahan atau redaman) sinyal

Dalam bentuk operasi matematik sebagai pendekatannya, peristiwa ini dapat diberikan sebagai berikut: h(t) = a*s(t)

Dalam hal ini nilai att < 1, yang merupakan konstanta pelemahan yang terjadi. Kejadian ini sering muncul pada sistem transmisi, dan munculnya konstanta pelemahan ini dihasilkan oleh berbagai proses yang cukup komplek dalam suatu media transmisi

Dalam domain waktu, bentuk sinyal asli dan setelah mengalami penguatan adalah seperti gambar berikut

PENGANTAR SISTEM

Sebuah sistem dapat didefinisikan sebagai suatu interkoneksi dari sekumpulan komponen (dapat berupa piranti atau proses) dengan terminal-terminal atau port akses yang dimilikinya sehingga beragam materi, energi, atau informasi dapat dimasukkan dan diberi perlakuan olehnya.

•Contoh-contoh Sistem

1. Sebuah rangkaian listrik dengan input yang sebanding dengan tegangan dan/atau arus dan memiliki output yang sebanding dengan tegangan atau arus yang mengalir pada beberapa titik.

2. Sebuah sistem komunikasi dengan input sebanding dengan sinyal yang ditransmisi dan dengan output sebanding dengan sinyal yang diterimanya.

3. Sebuah sistem biologi seperti alat pendengaran manusia (telinga) dengan input sebanding dengan sinyal suara yang masuk ke gendang telinga dan output sebanding dengan rangsangan syaraf yang selanjutnya diolah di otak untuk pengambilan keputusan informasi apa yang masuk.

4. Sebuah manipulator robot dengan input sebanding dengan torsi yang diaplikasikan ke robot dan output sebanding dengan posisi akhir salah satu lengannya.

5. Suatu proses pembakaran minyak, dengan inputnya berupa banyaknya bahan bakar yang masuk dan output sebanding dengan panas yang dihasilkannya.

6. Proses manufaktur, dimana input sebanding dengan bahan mentah yang dimasukkan dan outputnya berupa jumlah barang yang diproduksinya.

• Model Matematik Sistem 

Model matematik suatu sistem terdiri atas sekumpulan persamaan yang menggambarkan hubungan antar komponen (digambarkan dalam bentuk sinyal) yang ada dalam sistem. Model matematik pada suatu sistem biasanya merupakan represeantasi ideal pada sistem. Dengan kata lain, banyak sistem aktual (dalam ujud fisik yang sebenarnya) tidak dapat digambarkan dengan suatu model matematik.

• Tipe Model Matematik Ada dua tipe dasar pada model matematik.

Pertama adalah representasi input/output yang menggambarkan hubungan sinyal input dengan sinyal output.

Kedua adalah state (keadaan) atau internal model yang menggambarkan hubungan diantara sinyal input, keadaan, dan sinyal output pada suatu sistem.

SISTEM WAKTU KONTINYU

Pada sistem waktu kontinyu, masukan berupa isyarat waktu kontinyu dan akan dihasilkan keluaran yang merupakan isyarat waktu kontinyu pula. Isyarat masukan sistem waktu kontinyu biasanya dinotasikan dengan x(t), dan isyarat keluarannya dinotasikan dengan y(t). Hubungan masukan-keluaran dalam sistem waktu kontinyu akan dinotasikan dengan pernyataan: 52 x(t) -> y(t)

Penggambaran sistem waktu kontinyu selalu berkaitan dengan bentuk representasi matematik yang mengambarkan sistem tersebut dalam keseluruhan waktu dan berkaitan dengan penggunaan notasi f(t).

SISTEM WAKTU DISKRIT

Pada sistem waktu diskrit, masukan berupa isyarat waktu diskrit dan akan dihasilkan keluaran yang merupakan isyarat waktu diskrit pula. Isyarat masukan sistem waktu diskrit biasanya dinotasikan dengan x[n], dan isyarat keluarannya dinotasikan dengan y[n]. Penggambaran sistem waktu disktrit berkaitan dengan pengambilan sampel pada waktu-waktu tertentu dari sistem yang biasanya dengan penggunaan notasi f[n]. Hubungan masukan-keluaran dalam sistem waktu diskrit akan dinotasikan dengan pernyataan

x[n] -> y[n].

SIFAT SIFAT DASAR SISTEM

Kausalitas

Linearitas

Time Invariant

Untuk dapat mempelajari lebih jauh tentang suatu sistem, dapat dipelajari menggunakan teknik yang tergantung pada sifat dasar dari sistem tersebut

Kausalitas

Suatu sistem disebut kausal jika keluaran sistem hanya bergantung pada harga masukan saat ini dan masukan yang telah lalu (sebelumnya). Sistem yang seperti ini juga disebut sistem nonantisipasif (yaitu sistem yang tidak dapat meramalkan masukan yang akan datang). jika untuk suatu nilai t1, respon output y(t1) pada waktu t1 dihasilkan dari input x(t) tidak tergantung pada nilai input x(t) untuk t > t1.

Linearitas

Suatu sistem dikatakan additive jika untuk suatu input x1(t) dan x2(t), respon outputnya y(t) sebanding dengan jumlahan kedua input x1(t) dan x2(t).

Suatu sistem dikatakan homogen jika untuk suatu input ax(t) dan suatu nilai real skalar a, respon outputnya adalah senilai a kali x(t). Dalam hal ini juga dibuat anggapan dasar bahwa energi awal sebelum input diberikan ke sistem adalah tidak ada. Sebuah sistem adalah linear jika kedua sifat additive dan homogen dipenuhi.

Input: a1x1(t) + a2x2(t)

Responnya:a1y1(t) + a2y2(t).

Jika sebuah sistem mempunyai keluaran y1(t) untuk masukan x1(t) dan keluaran y2(t) untuk masukan x2(t), maka sistem tersebut linear jika:

a. Masukan x1(t) + x2(t) menghasilkan keluaran y1(t) + y2(t)

b. Untuk sebuah konstanta c, maka masukan cx1(t) akan menghasilkan keluaran cy1(t)

Dengan kata lain, sebuah sistem disebut linear jika memenuhi syarat:

Untuk sistem waktu kontinyu:

c x1(t) + d x2(t) -> c y1(t) + d y2(t)

Untuk sistem waktu diskrit:

c x1[n] + d x2[n] -> c y1[n] + d y2[n]

Time Invariant

Sebuah sistem disebut waktu invarian jika perilaku sistem tersebut tidak terpengaruh oleh waktu. Sebagai contoh misalnya sebuah rangkaian RC; rangkaian RC pada eksperimen hari ini akan menghasilkan tanggapan yang sama dengan tanggapan yang dihasilkan pada eksperimen pada hari sebelumnya. Sifat waktu invarian sebuah sistem, secara matematis dapat dinyatakan sebagai berikut.

Untuk sistem waktu diskrit:

Jika y[n] adalah keluaran untuk masukan x[n], maka y[n - n0] adalah keluaran untuk masukan x[n - n0].

x[n] -> y[n]

x[n - n0] -> y[n - n0]

Untuk sistem waktu kontinyu:

Jika y(t) adalah keluaran untuk masukan x(t), maka y(t - t0) adalah keluaran untuk masukan x(t - t0).

x(t) -> y(t)

x(t - t0) -> y(t - t0).

Sistem dengan dan tanpa memori

Pada sistem tanpa memori, keluaran sistem pada suatu waktu tertentu hanya bergantung pada masukan pada waktu yang sama. Contoh sistem tanpa memori adalah sistem yang mempunyai hubungan keluaran dan masukan sebagai berikut:

y[n] = 2 x[n]

v(t) = R i(t)

y(t) = x(t)

Contoh terakhir biasa disebut dengan sistem identitas, yaitu suatu sistem yang keluarannya sama dengan masukannya. Sistem dengan memori mempunyai mekanisme untuk menyimpan informasi harga masukan yang bukan saat ini, masukan ini mempengaruhi sistem.

Sistem inversi Sebuah sistem disebut invertibel jika masukan yang tertentu menghasilkan keluaran yang tertentu pula. Dengan kata lain bahwa masukan sistem dapat diperoleh kembali dengan cara inversi. Contoh sistem invertibel adalah sistem yang mempunyai hubungan keluaran dan masukan sebagai berikut: y(t) = 2 x(t), maka masukan x(t) dapat diperoleh dengan cara inversi, yaitu x(t) = 0,5 y(t)

Contoh sistem non invertibel adalah sistem yang mempunyai hubungan keluaran dan masukan sebagai berikut:

y[n] = 0

y(t) = {x(t)}2

Pada kedua contoh sistem ini, masukan yang menghasilkan keluaran tertentu tidak dapat ditentukan secara pasti.

• Stabilitas

Sistem yang stabil merupakan sistem yang dengan masukan kecil namun tetap menghasilkan keluaran yang tidak menyimpang. Sebagai contoh adalah jarum pendulum jam. Masukan x(t) berupa gaya tarikan, sedangkan keluaran y(t) berupa deviasi sudut yang dihasilkan. Meskipun masukan x(t) cukup kecil, pendulum akan tetap kembali pada posisi awalnya

tri-hardiyanto.blogspot.com